Закон гука определение и формула. Деформации

Закон Гука

Закон гука определение и формула. Деформации

  • Справочник
  • Законы
  • Закон Гука

Закон Гука — уравнение теории упругости, связывающее напряжение и деформацию упругой среды. Открыт в 1660 году английским учёным Робертом Гуком (Хуком) (англ. Robert Hooke). Поскольку закон Гука записывается для малых напряжений и деформаций, он имеет вид простой пропорциональности.

В словесной форме закон звучит следующим образом:

Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации.

\[ \LARGE F = kx \]

Векторная формулировка закона Гука включает знак “минус”, который говорит о том, что вектор деформации x всегда направлен противоположно силе упругости F:

\[ \LARGE F = -kx \]

Здесь \( F \) — сила растяжения или сжатия, \( x \) — абсолютное удлинение или сжатие, а \( k \) — коэффициент упругости (или жёсткости).

ВАЖНО Закон Гука справедлив только для упруго деформированных материалов.

Красная линия на графике отображает изменение силы (F) в зависимости от положения в согласованности с законом Гука. Наклон соответствует постоянной пружины (k). Пунктирная линия – вид фактического графика силы. Изображения состояний пружины в нижней части отвечают некоторым точкам на графике (средняя – расслабленность)

Для тонкого растяжимого стержня закон Гука имеет вид:

\[ F = k \Delta l \]

Здесь \( F \) — сила, которой растягивают (сжимают) стержень, \( \Delta l \) — абсолютное удлинение (сжатие) стержня, а \( k \) — коэффициент упругости (или жёсткости).

Коэффициент упругости зависит как от свойств материала, так и от размеров стержня. Можно выделить зависимость от размеров стержня (площади поперечного сечения S и длины L) явно, записав коэффициент упругости как:

\[ k = \dfrac{ES}{L} \]

Величина E называется модулем упругости первого рода или модулем Юнга и является механической характеристикой материала.

Если ввести относительное удлинение

\[ \varepsilon = \dfrac{\Delta l}{L} \]

и нормальное напряжение в поперечном сечении

\[ \sigma = \dfrac {F}{S} \]

то закон Гука в относительных единицах запишется как

\[ \sigma = E\varepsilon \]

В такой форме он справедлив для любых малых объёмов материала.

Также при расчёте прямых стержней применяют запись закона Гука в относительной форме

\[ \Delta l = \dfrac{FL} {ES} \]

Следует иметь в виду, что закон Гука выполняется только при малых деформациях. При превышении предела пропорциональности связь между напряжениями и деформациями становится нелинейной. Для многих сред закон Гука неприменим даже при малых деформациях.

ЗаконыФормулы Физика Теория Закон

К резиновому шнуру подвесили груз, под действием которого шнур растянулся на \( 4 \ \mathrm{см} \). Затем шнур сложили вдвое, закрепив сложенные концы вверху, а к середине снова подвесили тот же груз. На сколько шнур растянется во втором случае?

Если шнур в первом случае растянулся на \( 4\ \mathrm{см} \), то каждая половина шнура растянулась на \( 2\ \mathrm{см} \), а половины шнура были соединены между собой последовательно. Сила упругости внутри шнура везде одинакова и равна весу груза. Коэффициент жёсткости каждой половины можно представить в виде: \( k_2 = \dfrac{mg}{x_0/2} \)

Во втором случае половинки шнура соединены между собой параллельно, следовательно, условие равновесия груза теперь выглядит так:

\( mg = 2\cdot k_2x_2, \)

откуда

\( x_2 = \dfrac{mg}{2k_2} = \frac{mg}{2\dfrac{mg}{x_0/2}} = \dfrac{x_0}{4} = 1\ \mathrm{см}.\)

Не можешь написать работу сам?

Доверь её нашим специалистам

от 100 р.стоимость заказа

Если материал понравился Вам и оказался для Вас полезным, поделитесь им со своими друзьями!

  • Сила Ампера – сила, действующая на проводник тока, находящийся в магнитном поле и равная произведению силы тока в проводнике, модуля вектора индукции магнитного поля, длины проводника и синуса угла между вектором магнитного поля и направлением тока в проводнике.
  • Сила взаимодействия двух неподвижных точечных электрических зарядов в вакууме прямо пропорциональна произведению их модулей и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.
  • Парциальное давление каждого газа, входящего в состав смеси, это давление, которое создавалось бы той же массой данного газа, если он будет занимать весь объем смеси при той же температуре.
  • Давление на поверхность жидкости, произведенное внешними силами, передается жидкостью одинаково во всех направлениях.
  • Закон всемирного тяготенияМежду любыми материальными точками существует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению их масс и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними, действующая по линии, соединяющей эти точки
  • Сколько километров в узле?Один морской узел равен одной тысяче восемьсот пятьдесят двум метрам или одному километру восемьсот пятьдесят двум метрам
  • 1 Вольт равен электрическому напряжению, вызывающему в электрической цепи постоянный ток силой 1 ампер при мощности 1 ватт.
  • Согласно нормам Всемирной Организацией Здравоохранения (ВОЗ)
  • Перевод чисел из одной системы счисления в любую другую онлайнКалькулятор переводит числа из одной системы счисления в любую другую.

Источник: //calcsbox.com/post/zakon-guka.html

Закон Гука – формула: при каких условиях выполняется, сила упругости, определение и формулировка при растяжке и сжатии

Закон гука определение и формула. Деформации

Как известно, физика изучает все законы природы: начиная от простейших и заканчивая наиболее общими принципами естествознания. Даже в тех областях, где, казалось бы, физика не способна разобраться, все равно она играет первоочередную роль, и каждый малейший закон, каждый принцип — ничто не ускользает от нее.

Именно физика является основой основ, именно эта наука лежит в истоках всех наук.

Физика изучает взаимодействие всех тел, как парадоксально маленьких, так и невероятно больших. Современная физика активно изучает не просто маленькие, а гипотетические тела, и даже это проливает свет на суть мироздания.

Физика поделена на разделы, это упрощает не только саму науку и понимание ее, но и методологию изучения. Механика занимается движением тел и взаимодействием движущихся тел, термодинамика — тепловыми процессами, электродинамика — электрическими.

Почему деформацию должна изучать механика

Говоря о сжатиях или растяжениях, следует задать себе вопрос: какой раздел физики должен изучать этот процесс? При сильных искажениях может выделяться тепло, быть может, этими процессами должна заниматься термодинамика? Иногда при сжатии жидкостей, она начинает кипеть, а при сжатии газов — образуются жидкости? Так что же, деформацию должна познавать гидродинамика? Или молекулярно-кинетическая теория?

Всё зависит от силы деформации, от ее степени. Если деформируемая среда (материал, который сжимают или растягивают) позволяет, а сжатие невелико, есть смысл рассматривать этот процесс как движение одних точек тела относительно других.

А раз вопрос касается сугубо движения, значит, заниматься этим будет механика.

Закон Гука и условие его выполнения

В 1660 году известный английский ученый Роберт Гук открыл явление, при помощи которого можно механически описать процесс деформаций.

Для того чтобы понимать при каких условиях выполняется закон Гука, ограничимся двумя параметрами:

Есть такие среды (например, газы, жидкости, особо вязкие жидкости, близкие к твердым состояниям или, наоборот, очень текучие жидкости) для которых описать процесс механически никак не получится. И наоборот, существуют такие среды, в которых при достаточно больших силах механика перестает «срабатывать».

Важно! На вопрос: «При каких условиях выполняется закон Гука?», можно дать определенный ответ: «При малых деформациях».

Закон Гука, определение: деформация, которая возникает в теле, прямо пропорциональна силе, которая вызывает эту деформацию.

Естественно, это определение подразумевает, что:

  • сжатия или растяжения невелики;
  • предмет упругий;
  • он состоит из материала, при котором в результате сжатия или растяжения нет нелинейных процессов.

Закон Гука в математической форме

Формулировка Гука, которую мы привели выше, дает возможность записать его в следующем виде:

,

где  — изменение длины тела вследствие сжатия или растяжения, F — сила, приложенная к телу и вызывающая деформацию (сила упругости), k — коэффициент упругости, измеряется в Н/м.

Следует помнить, что закон Гука справедлив только для малых растяжений.

Также отметим, что он при растяжении и сжатии имеет один и тот же вид. Учитывая, что сила — величина векторная и имеет направление, то в случае сжатия, более точной будет такая формула:

,  но опять-таки, все зависит от того куда будет направлена ось, относительно которой вы проводите измерение .

В чем кардинальная разница между сжатием и растяжением? Ни в чем, если оно незначительно.

Степень применимости можно рассмотреть в таком виде:

Обратим внимание на график.

Как видим, при небольших растяжениях (первая четверть координат) долгое время сила с координатой имеет линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и закон перестает выполняться.

На практике это отражается таким сильным растяжением, что пружина перестает возвращаться в исходное положение, теряет свойства. При еще большем растяжении происходит излом, и разрушается структура материала.

При небольших сжатиях (третья четверть координат) долгое время сила с координатой имеет тоже линейную связь (красная прямая), но затем реальная зависимость (пунктир) становится нелинейной, и всё вновь перестает выполняться.

На практике это отражается таким сильным сжатием, что начинает выделяться тепло и пружина теряет свойства.

При еще большем сжатии происходит «слипание» витков пружины и она начинает деформироваться по вертикали, а затем и вовсе плавиться.

Как видим формула, выражающая закон, позволяет находить силу, зная изменение длины тела, либо, зная силу упругости, измерить изменение длины:

.

Также, в отдельных случаях можно находить коэффициент упругости. Для того, чтобы понять как это делается, рассмотрим пример задачи:

К пружине подсоединен динамометр. Ее растянули, приложив силу в 20 Ньютон, из-за чего она стала иметь длину 1 метр. Затем ее отпустили, подождали пока прекратятся колебания, и она вернулась к своему нормальному состоянию. В нормальном состоянии ее длина составляла 87, 5 сантиметров. Давайте попробуем узнать, из какого материала сделана пружина.

Дано:

Решение:

Найдем численное значение деформации пружины:

Запишем:

.

Отсюда можем выразить значение коэффициента:

Посмотрев таблицу, можем обнаружить, что этот показатель соответствует пружинной стали.

! Что такое закон всемирного тяготения: формула великого открытия

Неприятности с коэффициентом упругости

Физика, как известно, наука очень точная, более того, она настолько точна, что создала целые прикладные науки, измеряющие погрешности. Будучи эталоном непоколебимой точности, она не может себе позволить быть нескладной.

Практика показывает, что рассмотренная нами линейная зависимость, является ничем иным как законом Гука для тонкого и растяжимого стержня. Лишь в качестве исключения можно применять его для пружин, но даже это является нежелательным.

Оказывается, что коэффициент k — переменная величина, которая зависит не только от того из какого материала тело, но и от диаметра и его линейных размеров.

По этой причине, наши умозаключения требуют уточнений и развития, ведь иначе, формулу:

нельзя назвать ничем иным как зависимостью между тремя переменными.

! Специальная теория относительности Эйнштейна: кратко и простыми словами

Модуль Юнга

Давайте попробуем разобраться с коэффициентом упругости. Этот параметр, как мы выяснили, зависит от трех величин:

  • материала (что нас вполне устраивает);
  • длины L (что указывает на его зависимость от );
  • площади S.

Важно! Таким образом, если нам удастся каким-то образом «отделить» из коэффициента длину L и площадь S, то мы получим коэффициент, полностью зависящий от материала.

Что нам известно:

  • чем больше площадь сечения тела, тем больше коэффициент k, причем зависимость линейная;
  • чем больше длина тела, тем меньше коэффициент k, причем зависимость обратно пропорциональная.

Значит, мы можем, коэффициент упругости записать таким образом:

,

причем Е — новый коэффициент, который теперь точно зависит исключительно от типа материала.

Введем понятие “относительное удлинение”:

.

Следует признать, что эта величина более содержательна, чем  , поскольку она отражает не просто на сколько пружина сжалась или растянулась, а во сколько раз это произошло.

Поскольку мы уже «ввели в игру» S, то введем понятие нормального напряжения, которое записывается таким образом:

.

Важно! Нормальное напряжение представляет собой долю деформирующей силы на каждый элемент площади сечения.

Измеряется нормальное сечение в Н/м2.

Тогда, закон можно записать в следующем виде:

,

подставим выражение для k:

,

перенесем S в левую часть, в знаменатель:

,

заменим величины:

.

Таким образом, мы получили формулу, которая отражает связь между нормальным напряжением и относительным удлинением.

урок по физике «Силы упругости. Закон Гука»

Закон Гука и упругие деформации

Вывод

Сформулируем закон Гука при растяжении и сжатии: при малых сжатиях нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению.

Коэффициент Е называется модулем Юнга и зависит исключительно от материала.

Источник: //uchim.guru/fizika/zakon-guka-formula.html

Деформации. Закон Гука

Закон гука определение и формула. Деформации

Рассмотрим деформации, возникающие при растяжении и сжатии стержней. При растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры сокра­щаются. При сжатии, наоборот, длина стержня уменьшается, а поперечные размеры увеличиваются. На рис.2.7 пунктиром показан деформированный вид растянутого стержня.

Рис.2.7

ℓ – длина стержня до приложения нагрузки;

ℓ1 – длина стержня после приложения нагрузки;

b – поперечный размер до приложения нагрузки;

b1 – поперечный размер после приложения нагрузки.

Абсолютная продольная деформация ∆ℓ = ℓ1 – ℓ.

Абсолютная поперечная деформация ∆b = b1 – b.

Значение относительной линейной деформации ε можно определить как отношение абсолютного удлинения ∆ℓ к первоначальной длине бруса ℓ

. (2.5)

Аналогично находятся поперечные деформации

. (2.6)

При растяжении поперечные размеры уменьшаются: ε > 0, ε′ < 0; при сжатии: ε < 0, ε′ > 0. Опыт показывает, что при упругих деформациях поперечная всегда прямо пропорциональна продольной.

ε′ = – νε. (2.7)

Коэффициент пропорциональности ν называется коэффициентом Пуассона или коэффициентом поперечной деформации. Он представляет собой абсолютную величину отношения поперечной деформации к продольной при осевом растяжении

. (2.8)

Назван по имени французского учёного, впервые предложившего его в начале XIX века. Коэффициент Пуассона есть величина постоянная для материала в пределах упругих деформаций (т.е. деформаций, исчезающих после снятия нагрузки). Для различных материалов коэффициент Пуассона изменяется в пределах 0 ≤ ν ≤ 0,5: для стали ν = 0,28…0,32; для резины ν = 0,5; для пробки ν = 0.

Между напряжениями и упругими деформациями существует зависимость, известная под названием закон Гука:

σ = Еε. (2.9)

Коэффициент пропорциональности Е между напряжением и деформацией называется модулем нормальной упругости или модулем Юнга. Размерность Е такая же, как и у напряжения. Так же, как и ν, Е – упругая постоянная материала. Чем больше значение Е, тем меньше, при прочих равных условиях, продольная деформация. Для стали Е = (2…2,2)105 МПа или Е = (2…2,2)104 кН/см2.

Подставляя в формулу (2.9) значение σ по формуле (2.2) и ε по формуле (2.5) , получим выражение для абсолютной деформации

. (2.10)

Произведение EF называется жёсткостью бруса при растяжении и сжатии.

Формулы (2.9) и (2.10) – это разные формы записи закона Гука, предложенного в середине XVII века. Современная форма записи этого фундаментального закона физики появилась гораздо позже – в начале XIX века.

Формула (2.10) справедлива лишь в пределах тех участков, где сила N и жёсткость EF постоянны. Для ступенчатого стержня и стержня, нагруженного несколькими силами, удлинения подсчитываются по участкам с постоянными N и F и результаты суммируются алгебраически

. (2.11)

Если эти величины изменяются по непрерывному закону, ∆ℓ вычисляется по формуле

. (2.12)

В ряде случаев для обеспечения нормальной работы машин и сооружений размеры их деталей должны быть выбраны так, чтобы кроме условия прочности обеспечивалось условие жёсткости

, (2.13)

где ∆ℓ – изменение размеров детали;

[∆ℓ] – допускаемая величина этого изменения.

Подчёркиваем, что расчет на жёсткость всегда дополняет расчёт на прочность.

2.4. Расчёт стержня с учетом собственного веса

Простейшим примером задачи о растяжении стержня с переменными по длине параметрами является задача о растяжении призматического стержня под действием собственного веса (рис.2.8,а). Продольная сила Nx в поперечном сечении этого бруса (на расстоянии x от его нижнего конца) равна силе тяжести нижележащей части бруса (рис.2.8,б), т.е.

Nx = γFx, (2.14)

где γ – объёмный вес материала стержня.

. (2.15)

Продольная сила и напряжения меняются по линейному закону, достигая максимума в заделке. Осевое перемещение произвольного сечения равно удлинению вышерасположенной части бруса. Поэтому определить его нужно по формуле (2.12), интегрирование вести от текущего значения х до х = ℓ:

.

Получили выражение для произвольного сечения стержня

. (2.16)

При х = ℓ перемещение наибольшее, оно равно удлинению стержня

. (2.17)

На рис.2.8,в,г,д приведены графики Nx, σх и ux

а б в г д

Рис.2.8

Умножим числитель и знаменатель формулы (2.17) на F и получим:

.

Выражение γFℓ равно собственному весу стержня G. Поэтому

. (2.18)

Формула (2.18) может быть сразу получена из (2.10)., если помнить, что равнодействующая собственного веса G должна быть приложена в центре тяжести стержня и поэтому она вызывает удлинение только верхней половины стержня (рис.2.8,а).

Если стержни, кроме собственного веса, нагружены ещё сосредоточенными продольными силами, то напряжения и деформации определяют на основе принципа независимости действия сил отдельно от сосредоточенных сил и от собственного веса, после чего результаты складывают.

Принцип независимости действия сил вытекает из линейной деформируемости упругих тел. Суть его заключается в том, что любая величина (напряжение, перемещение, деформация) от действия группы сил может быть получена как сумма величин, найденных от каждой силы в отдельности.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Источник: //studopedia.ru/3_181462_deformatsii-zakon-guka.html

Закон Гука определение и формула

Закон гука определение и формула. Деформации

Всё, что происходит в природе, основывается на действии различных сил – закон Гука является тому подтверждением. Это одно из основополагающих явлений науки.

Этот процесс является определяющим звеном процессов сжатия, изгибов, растяжения и других видоизменений материалов различных структур.

Разберёмся, в чем же заключается этот закон, как можно применить правило Гука на практике, и всегда ли оно выполняется.

Определение и формула закона Гука

Давно люди пытались объяснить происхождение явлений сжатия и растяжения. Отсутствие знаний являлось причиной накопления экспериментальных данных. Собственно, свою теорему английский испытатель Гук открыл из своих наблюдений и опытов. Только позже, после  смерти ученого, современники назовут выведенную им аксиому – законом Гука.

Исследователь заметил, что при каждом упругом воздействии на объект появляется сила, которая возвращает его в исходную форму. Это и послужило началом экспериментов.

Аксиома Гука гласит:

При очень маленьких упругих воздействиях создается сила, пропорциональная изменению объекта, но противоположного знака по абсолютной величине перемещения его частиц.

Математически это определение можно записать следующим образом:

Fx = Fупр = k * x,

где в левой части указывается:

сила, действующая на тело,

x – перемещение тела (м),

k – коэффициент деформации, зависящий от свойств объекта.

Единица измерения, как и любой другой силы, является Ньютон.

Кстати, k еще называют жёсткостью тела, она измеряется в H/м. Жесткость обусловлена не внешними параметрами объекта, а зависит от его материала.

Правда, стоит учесть, что его закон справедлив только для упругих деформаций.

Сила упругости

Формулировка основывается на определении силы упругости. В чем же заключается ее отличие от других воздействий на тело?

На самом деле, сила упругости может возникать в любой точке тела при его упругой деформации. Что понимается под таким воздействием? Это изменение формы тела, при котором объект через определенный период времени возвращается в исходный вид.

А это в свою очередь происходит из-за молекулярного воздействия частиц: при любой деформации происходит изменение расстояния между молекулами объекта, а кулоновские силы притяжения или отталкивания стремятся вернуть тело в исходное положение.

Самая простая модель, демонстрирующая действие сил упругости, является пружинным маятником.

Какая формула выражает аксиому, установленную ученым в этом случае?

Тут аксиома Гука запишется в виде:

ε = α * S,

где ε – относительное удлинение тела (его величина равна отношению удлинения к перемещению),

α – коэффициент пропорциональности (обратно пропорционален модулю Юнга Е),

S – механическое напряжение объекта (его величина равна отношению силы упругости к площади сечения тела).

Учитывая вышесказанное, уравнение можно записать так:

Δx / x = Fупр / E * S,

где Δx – максимальный сдвиг при деформации.

Стоит преобразовать данное выражение, тогда получим следующее:

Fупр = (E * S / x) Δx= k * Δx.

Поскольку сила упругости противоположна внешнему воздействию, то кратко закон читается таким образом:

Fупр = k * Δx.

В нем не зря упомянуты малые по величине деформации: при них Δx  ̴ x, следовательно, Fупр = k * x.

При каких условиях выполняется закон Гука

А теперь посмотрим, каковы границы применимости этого выражения, и в каких условиях оно вообще выполняется.

Следует знать, что основным условием является:

s = E * e,

где слева в уравнении находится напряжение, возникающее при деформации, а в правой части модуль Юнга и удлинение.

Причем, E зависит от характеристик частиц объекта, но не от его параметров формы, а второй множитель берется по модулю.

В целом аксиома Гука справедлива для многих ситуаций.

Так, при упругом изгибе пружины, лежащей на двух опорах, математическая запись теоремы выглядит следующим образом:

Fупр = m * g

Fупр = k * x

В иных ситуациях (при кручении, различных маятниках и других деформирующих процессах) аналогично записывается воздействие сил на объект.

Как применить закон упругой деформации на практике

Этот закон (обобщенный для многих ситуаций) является базовым в динамике и статике тел, поэтому его применимость осуществляется в областях, где необходимо проводить расчет жесткости и напряжения деформации объектов.

В первую очередь, правило Гука необходимо применять в строительстве и технике. Так, рабочие должны точно знать, какой максимальный груз может поднять башенный кран или какую нагрузку выдержит фундамент будущего здания.

Ни один из поездов не обходится без деформации растяжения и сжатия, поэтому закон Гука справедлив и для этих ситуаций. Кроме того, механизм и принцип действия любых динамометров, которыми снабжены некоторые части технического оборудования, также основываются на этом замечательном законе.

Закон Гука выполняется во всех объектах, являющихся аналогами модели «пружинный маятник».

В обычной жизни, дома, можно видеть применимость этого закона в пружинах некоторых механизмов.

Таким образом, закон Гука применим во многих сферах жизни человека. Он является одним из базовых явлений, на которых держится существование всей жизни на планете.

Заключение

Подводя итоги, следует отметить, что закон Гука – универсальный помощник в задачах с решениями по деформации объектов не только в студенческих книжках по сопромату, но и в различных инженерных областях.

Именно эти простые задания помогают ученым и мастерам создавать новые технические модели, необходимые в условиях современного технического прогресса.

Источник: //tvercult.ru/istoriya/zakon-guka-opredelenie-i-formula

WikiHelpProstuda.Ru
Добавить комментарий