Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Производная e в степени x и показательной функции

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Доказательство и вывод формул производной экспоненты (e в степени x) и показательной функции (a в степени x). Примеры вычисления производных от e2x, e3x и enx. Формулы производных высших порядков.

Производная экспоненты равна самой экспоненте (производная e в степени x равна e в степени x):
(1)   ( e x )′ = e x.

Производная показательной функции с основанием степени a равна самой функции, умноженной на натуральный логарифм от a:
(2)   .

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:
.
Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной экспоненты

Рассмотрим экспоненту, e в степени x:
y = e x.
Эта функция определена для всех . Найдем ее производную по переменной x. По определению, производная является следующим пределом:
(3)   .

Преобразуем это выражение, чтобы свести его к известным математическим свойствам и правилам.

Для этого нам понадобятся следующие факты:
А) Свойство экспоненты:
(4)   ;
Б) Свойство логарифма:
(5)   ;
В) Непрерывность логарифма и свойство пределов для непрерывной функции:
(6)   .

Здесь – некоторая функция, у которой существует предел и этот предел положителен.
Г) Значение второго замечательного предела:
(7)   .

Применяем эти факты к нашему пределу (3). Используем свойство (4):
;
.

Сделаем подстановку   . Тогда   ; . В силу непрерывности экспоненты,

.

Поэтому при , . В результате получаем:
.

Сделаем подстановку . Тогда . При , . И мы имеем:
.

Применим свойство логарифма (5):
. Тогда
.

Применим свойство (6). Поскольку существует положительный предел и логарифм непрерывен, то:
. Здесь мы также воспользовались вторым замечательным пределом (7). Тогда

.

Тем самым мы получили формулу (1) производной экспоненты.

Вывод формулы производной показательной функции

Теперь выведем формулу (2) производной показательной функции с основанием степени a. Мы считаем, что и . Тогда показательная функция
(8)  
Определена для всех .

Преобразуем формулу (8). Для этого воспользуемся свойствами показательной функции и логарифма.
;
. Итак, мы преобразовали формулу (8) к следующему виду:

.

Находим производную. Выносим постоянную за знак производной:
.
Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Тем самым, мы нашли производную показательной функции с произвольным основанием степени:
.

Другие способы вывода производной экспоненты

Пусть нам известна формула производной натурального логарифма:
(9)   .
Тогда мы можем вывести формулу производной экспоненты, учитывая, что экспонента является обратной функцией к натуральному логарифму.

Перепишем формулу (9) в следующем виде:
,
где .
Переменные можно обозначать любыми буквами. Поменяем местами x и y:
(10)   ,
где .

Теперь рассмотрим экспоненту (e в степени x):
(11)   .
Применим формулу производной обратной функции:
(12)   . Обратной функцией к экспоненте является натуральный логарифм. Подставим значение производной натурального логарифма (10):

.

И, наконец, выразим y через x по формуле (11):
.
Формула доказана.

Теперь докажем формулу производной экспоненты, применяя формулу производной сложной функции. Поскольку функции и являются обратными друг к другу, то
.
Дифференцируем это уравнение по переменной x:
(13)   . Производная от икса равна единице:

.

Применим формулу производной сложной функции:
.
Здесь . Подставим в (13):
. Отсюда

.

Пример

Найти производные от e в степени 2x, e в степени 3x и e в степени nx. То есть найти производные функций
y = e 2x,   y = e 3x   и   y = e nx.

Решение

Исходные функции имеют похожий вид. Поэтому мы найдем производную от функции   y = e nx. Затем подставим n = 2 и n = 3. И из общей формулы найдем выражения для производных от e 2x, e 3x и e nx.

Итак, имеем исходную функцию
. Представим эту функцию как сложную функцию, состоящую из двух функций:

1)   Функции , зависящей от переменной : ;

2)   Функции , зависящей от переменной : .
Тогда исходная функция составлена из функций и :
.

Найдем производную от функции по переменной x:
.
Найдем производную от функции по переменной :
.
Применяем формулу производной сложной функции.
.
Здесь мы подставили .

Итак, мы нашли:
.
Подставляем n = 2 и n = 3.

Ответ

;   ;   .

См. также
Все примеры вычисления производных с решениями > > >

Производные высших порядков от e в степени x

Теперь найдем производные высших порядков. Сначала рассмотрим экспоненту:
(14)   . Мы нашли ее производную первого порядка:

(1)   .

Мы видим, что производная от функции (14) равна самой функции (14). Дифференцируя (1), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Отсюда видно, что производная n-го порядка также равна исходной функции:
.

Производные высших порядков показательной функции

Теперь рассмотрим показательную функцию с основанием степени a:
. Мы нашли ее производную первого порядка:

(15)   .

Дифференцируя (15), получаем производные второго и третьего порядка:
;
.

Мы видим, что каждое дифференцирование приводит к умножению исходной функции на . Поэтому производная n-го порядка имеет следующий вид:
.

Олег Одинцов.     : 27-03-2017

Источник: https://1cov-edu.ru/mat_analiz/proizvodnaya/funktsii/e-x/

Число e. Функция y=ex, ее свойства, график, дифференцирование. урок. Алгебра 11 Класс

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

На данном уроке мы определим число е. Выясним свойства функции 〖y= e〗x, построим график, и научимся ее дифференцировать. Также разберем несколько примеров классических задач, в которых используется число е.

Напомним, что показательной называется функция вида . График выглядит так:

Рис. 1. График показательной функции

График функции возрастает, если ; если основание  лежит в пределах то функция убывает.

Вспомним основные свойства.

1.      . x может принимать любые действительные значения;

2.       может принимать любые положительные значения;

3.       Графики всех функций при любом значении  проходят через эту точку;

4.      Функция возрастает, если ;

5.      Функция убывает, если .

Итак, мы вспомнили, что такое показательная функция и каковы ее основные свойства.

Число

Рассмотрим две конкретные показательные функции с основанием

Вот график функции :

Рис. 2. График функции

Вот график функции :

Рис. 3. График функции

В точке , если проведем касательную к одному и второму графику, обнаружим, что касательная к первому графику наклонена к оси примерно на (меньше ).

Во втором случае касательная наклонена к оси примерно на (больше ).

Предполагаем, и вообще это доказано, что существует между основаниями  такое число , что график  имеет касательную в точке , которая наклонена к оси ровно на .

Рис. 4. Касательная к графику функции

Итак, в первом случае касательная наклонена под углом меньше , во втором случае касательная наклонена под углом больше . И, оказывается, есть такое число , что касательная в точке  наклонена к оси  под углом ровно  Это число , во-первых, расположено  и, во-вторых, иррационально. Вот выписано несколько десятичных знаков этого числа: . Таким образом, мы ввели очень важное число

Теперь рассмотрим свойства показательной функции с основанием

График функции выглядит так:

Рис. 5. График функции

Свойства аналогичны свойствам функции с основанием:

;

Функция возрастает;

Функция не ограничена сверху, но ограничена снизу;

Не существует ни наибольшего  ни наименьшего  значений;

Функция непрерывна;

Принимает все значения, когда ;

Функция выпукла вниз;

Функция дифференцируема. Что это значит практически? Что касательную к экспоненте можно провести в любой точке.

Таковы свойства данной функции.

Поговорим о производной этой функции. Что мы на данный момент о ней знаем и без доказательства понимаем?

Мы говорили, что функция  дифференцируема. Это значит, что касательная в любой точке существует, то есть производная существует в любой точке. Но как ее найти? Мы знаем, что производная в точке Доказан важный факт:

 При любом действительном значении  То есть отсюда видна особенность числа . Производная, то есть скорость роста функции в точке  равна значению функции в этой же точке. Это основная формула, которая позволит нам дифференцировать все показательные функции.

Теперь рассмотрим некоторые типовые задачи на производную функции

Пример 1.

Дано:

Найти: Производную

Решение.

Вот основная формула , мы умеем дифференцировать сложную функцию.

Ответ:=

Пример 2.

Дано:

Найти: Производную

Решение.

По тем же правилам, по которым мы дифференцируем все функции, продифференцируем и эту.

Ответ:=

Итак, зная основную формулу , мы можем решать примеры на нахождение производных.

Следующая стандартная задача на касательную.

Пример 3.

Дано:, абсцисса точки касания;

Найти: Уравнение касательной к данной кривой с абсциссой в .

Решение.

Вспоминаем уравнение касательной и стандартную методику ее построения:

Какие действия нужно сделать, чтобы составить уравнение касательной?

Найти координаты точки касания:

Итак, точка с координатами – это точка касания (рис. 6).

Рис. 6. Точка касания

Найти производную в любой точке

Найти конкретное значение производной в точке :

У нас все есть, чтобы заполнить уравнение касательной.

Заполняем, получаем:

Ответ:

Небольшой анализ:

Тангенс угла наклона

Ордината пересечения точки с осью :

Задача решена.

Пример 4.

Найти наименьшее значение функции.

Решение.

Имеем производную произведения:

Приравниваем производную к нулю и убеждаемся, что , так как по свойству показательной функции всегда больше нуля.

Итак, имеем единственную критическую точку (рис. 7).

Рис. 7. Критическая точка

Если , то и функция убывает. Если , то .

Мы уже говорили, что  – единственная критическая точка. Посчитаем значение функции в ней:

Рис. 8. Точка наименьшего значения функции

И получаем ответ: наименьшее значение функции достигается в точке . Рис. 8.

Ответ:

Итак, мы познакомились с числом , показательной функцией с основанием . На следующем уроке мы рассмотрим логарифмическую функцию с основанием .

Список литературы

  1. Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Мнемозина.
  2. Муравин Г.К., Муравина О.В. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Дрофа.
  3. Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа. – М.: Просвещение.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Uztest.ru (Источник).
  2. Schoolife.ru (Источник).
  3. Terver.ru (Источник).

Домашнее задание

1. Найти производные функция в указанных точках:

а) ;

б) .

2. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции  в точке с абсциссой :

а) ;

б) .

3. Алгебра и начала анализа, Мордкович А.Г.: № 1616, 1618, 1621, 1624.

Источник: https://interneturok.ru/lesson/algebra/11-klass/pokazatelnaya-i-logarifmicheskaya-funktsii/chislo-e-funktsiya-y-e-x-ee-svoystva-grafik-differentsirovanie

Производная от экспоненты в степени х

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Прежде чем разобрать вопрос о производной от экспоненты в степени $x$, напомним определения

  1. функции;
  2. предела последовательности;
  3. производной;
  4. экспоненты.

Это необходимо для ясного понимания производной от экспоненты в степени $x$.

Определение 1

Функцией называют зависимость между двумя переменными величинами.

Возьмём $y=f(x)$, где $x$ и $y$ являются переменными величинами. Здесь $x$ называется аргументом, а $y$ – функцией. Аргумент может принимать произвольные значения.

В свою очередь, переменная $y$ изменяется по определённому закону в зависимости от аргумента. То есть аргумент $x$ – это независимая переменная, а функция $y$ – это зависимая переменная.

Любому значению $x$ соответствует единственное значение $y$.

Если каждому натуральному числу $n=1, 2, 3, …$ поставить в соответствие в силу некоторого закона число $x_n$, то говорят, что определена последовательность чисел $x_1,x_2,…,x_n$. Иначе такая последовательность записывается как $\{x_n\}$. Все числа $x_n$ называют членами или элементами последовательности.

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Определение 2

Пределом последовательности называют конечную или бесконечно удалённую точку числовой прямой. Предел записывают так: $\lim x_n = \lim\limits_{n\to\infty}x_n = a$. Эта запись означает, что переменная $x_n$ стремится к $a$ $x_n\to a$.

Производной функции $f$ в точке $x_0$ называется следующий предел:

$\lim\limits_{x\to x_0}\frac{f(x) – f(x_o)}{x-x_o}$. Он обозначается $f'(x_0)$.

Число $e$ равно следующему пределу:

$e=\lim\limits_{x\to\infty} (1+\frac{1}{n})\approx2,718281828459045…$

В данном пределе $n$ это натуральное или действительное число.

Владея понятиями о пределе, производной и экспоненте, можем приступить к доказательству формулы $(ex)'=ex$.

Вывод производной от экспоненты в степени $x$

Имеем $ex$, где $x: -\infty

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e{x+\Delta x}-ex}{\Delta x}$.

По свойству экспоненты $e{a+bx}=ea*eb$ можем преобразовать числитель предела:

$e{x+\Delta x}-ex = ex*e{\Delta x}-ex = ex(e{\Delta x}-1)$.

То есть $y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e{x+\Delta x}-ex}{\Delta x}=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{ex(e{\Delta x}-1)}{\Delta x}$.

Обозначим $t=e{\Delta x}-1$. Получим $e{\Delta x}=t+1$, а по свойству логарифма выходит, что $\Delta x = ln(t+1)$.

Так как экспонента непрерывна, имеем $\lim\limits_{\Delta x\to 0} e{\Delta x}=e0=1.$ Поэтому если $\Delta x\to 0$, то и $t \to 0$.

В результате покажем преобразование:

$y'=\lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{e{\Delta x}-1}{\Delta x}=ex\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{ln(t+1)}$.

Обозначим $n=\frac {1}{t}$, тогда $t=\frac{1}{n}$. Получается, что если $t\to 0$, то $n\to\infty$.

Преобразуем наш предел:

$y'=ex\lim\limits_{t\to 0}\frac{t}{ln(t+1)}=ex\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n\cdot ln(\frac{1}{n}+1)n}$.

По свойству логарифма $b\cdot ln c=ln cb$ имеем

$n\cdot ln (\frac{1}{n}+1)=ln(\frac{1}{n}+1)n=ln(1+\frac{1}{n})n$.

Предел преобразуется следующим образом:

$y'=ex\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n\cdot ln(\frac{1}{n}+1)} = ex\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{ln(\frac{1}{n}+1)n}= ex\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} ln(\frac{1}{n}+1)n}$.

Согласно свойству непрерывности логарифма и свойства пределов для непрерывной функции: $\lim\limits_{x\to x_0}ln(f(x))=ln(\lim\limits_f(x))$, где $f(x)$ имеет положительный предел $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$. Итак, в связи с тем, что логарифм непрерывен и существует положительный предел $\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1}{n}+1)n$, то можем вывести:

$\lim\limits_{n\to\infty}ln(1+\frac{1}{n})n=ln\lim\limits_{n\to\infty}ln(1+\frac{1}{n})n=ln e=1$.

Воспользуемся значением второго замечательного предела $\lim\limits_{n\to\infty}(1+\frac{1}{n})n=e$. Получаем:

$y'= ex\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty} ln(\frac{1}{n}+1)n} = ex\cdot\frac{1}{ln e} = ex\cdot\frac{1}{1}=ex$.

Таким образом, мы вывели формулу производной экспоненты и можем утверждать, что производная от экспоненты в степени $x$ эквивалентна экспоненте в степени $x$:

$(ex)'=ex$.

Существуют также другие способы вывода этой формулы с использованием другим формул и правил.

Пример 1

Рассмотрим пример нахождения производной функции.

Условие: Найти производную функции $y=2x + 3x + 10x + ex$.

Решение: К слагаемым $2x, 3x$ и $10x$ применяем формулу $(ax)'=ax\cdot ln a$. Согласно выведенной формуле $(ex)'=ex$ четвертое слагаемое $ex$ не изменяется.

Ответ: $y' = 2x\cdot ln 2 + 3x\cdot ln 3 + 10x\cdot ln 10 + ex$.

Таким образом, мы вывели формулу $(ex)'=ex$, при этом дав определения основным понятиям, разобрали пример нахождения производной функции с экспонентой в качестве одного из слагаемых.

Источник: https://spravochnick.ru/matematika/proizvodnaya_ot_eksponenty_v_stepeni_h/

Производная функции в степени х. Вывод формулы производной экспоненты

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Определение степенно-показательной функции. Вывод формулы для вычисления ее производной. Подробно разобраны примеры вычисления производных степенно-показательных функций.

Степенно-показательная функция – это функция, имеющая вид степенной функцииy = u v, у которой основание u и показатель степени v являются некоторыми функциями от переменной x:

u = u(x) ; v = v(x) .

Эту функцию также называют показательно-степенной или .

Заметим, что степенно-показательную функцию можно представить в показательном виде:.

Поэтому ее также называют сложной показательной функцией.

Вычисление с помощью логарифмической производной

Найдем производную степенно-показательной функции
(2) , где и есть функции от переменной . Для этого логарифмируем уравнение (2), используя свойство логарифма :. Дифференцируем по переменной x:

(3) .

Применяем

правила дифференцирования сложной функции

и произведения :;

.

Подставляем в (3):. Отсюда

.

Итак, мы нашли производную степенно-показательной функции:
(1) . Если показатель степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной степенной функции:. Если основание степени являются постоянной, то . Тогда производная равна производной сложной показательной функции:.

Когда и являются функциями от x, то производная степенно-показательной функции равна сумме производных сложной степенной и показательной функций.

Вычисление производной приведением к сложной показательной функции

Теперь найдем производную степенно-показательной функции
(2) , представив ее как сложную показательную функцию:

(4) .

Дифференцируем произведение:. Применяем правило нахождения производной сложной функции:.

И мы снова получили формулу (1).

Пример 1

Найти производную следующей функции:
.

Решение

Вычисляем с помощью логарифмической производной . Логарифмируем исходную функцию:
(П1.1) .

Из таблицы производных находим:;. По формуле производной произведения имеем:. Дифференцируем (П1.1):. Поскольку, то

.

Пример 2

Найдите производную функции
.

Вывод формулы производной экспоненты, e в степени x

Экспонента – это показательная функция, у которой основание степени равно числу e, которое является следующим пределом:.

Здесь может быть как натуральным, так и действительным числом. Далее мы выводим формулу (1) производной экспоненты.

64. Вывод табличных производных. Производная постоянной

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Привыводе самой первой формулы таблицыбудем исходить из определенияпроизводнойфункции в точке. Возьмем ,где x –любое действительное число, то есть, x –любое число из области определенияфункции .Запишем предел отношения приращенияфункции к приращению аргумента при :

Следуетзаметить, что под знаком пределаполучается выражение ,которое не являетсянеопределенностьюноль делить на ноль, так как в числителенаходится не бесконечно малая величина,а именно ноль. Другими словами, приращениепостоянной функции всегда равно нулю.

Такимобразом, производнаяпостоянной функцииравнанулю на всей области определения.

Производная степенной функции

Формулапроизводной степенной функции имеетвид ,где показатель степени p –любое действительное число.

Докажемсначала формулу для натуральногопоказателя степени, то есть, для p= 1, 2, 3, …

Будемпользоваться определением производной.Запишем предел отношения приращениястепенной функции к приращениюаргумента:

Дляупрощения выражения в числителе обратимсяк формуле биномаНьютона:

Следовательно,

Этимдоказана формула производной степеннойфункции для натурального показателя.

Производная показательной функции

Выводформулы производной приведем на основеопределения:

Пришлик неопределенности. Для ее раскрытиявведем новую переменную ,причем при .Тогда .В последнем переходе мы использовалиформулу перехода к новому основаниюлогарифма.

Выполнимподстановку в исходный предел:

Есливспомнить второйзамечательный предел, то придем кформуле производной показательнойфункции:

Производная логарифмической функции

Докажемформулу производной логарифмическойфункции для всех x изобласти определения и всех допустимыхзначениях основания a логарифма.По определению производной имеем:

КакВы заметили, при доказательствепреобразования проводились с использованиемсвойств логарифма. Равенство справедливов силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций

Длявывода формул производных тригонометрическихфункций нам придется вспомнить некоторыеформулы тригонометрии, а также первыйзамечательный предел.

Поопределению производной для функциисинуса имеем .

Воспользуемсяформулой разности синусов:

Осталосьобратиться к первому замечательномупределу:

Такимобразом, производная функции sinx есть cosx.

Абсолютноаналогично доказывается формулапроизводной косинуса.

Следовательно,производная функции cosx есть –sinx.

Выводформул таблицы производных для тангенсаи котангенса проведем с использованиемдоказанных правил дифференцирования(производнаядроби).

Производные гиперболических функций

Правиладифференцирования иформула производной показательнойфункции из таблицы производных позволяютвывести формулы производных гиперболическогосинуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Производная обратной функции

Передначалом изучения данной статьи рекомендуемвспомнить определениеи свойства обратной функции.

Чтобыпри изложении не было путаницы, давайтеобозначать в нижнем индексе аргументфункции, по которому выполняетсядифференцирование, то есть, -это производная функции f(x) по x.

Теперьсформулируем правилонахождения производной обратной функции.

Пустьфункции y= f(x) и x= g(y) взаимнообратные, определенные наинтервалах и соответственно.Если в точке существуетконечная отличная от нуля производнаяфункции f(x),то в точке существуетконечная производная обратнойфункции g(y),причем .В другой записи .

Можноэто правило переформулировать длялюбого x изпромежутка ,тогда получим .

Давайтепроверим справедливость этих формул.

Найдемобратную функцию для натуральногологарифма (здесь y –функция, а x-аргумент). Разрешив это уравнениеотносительно x,получим (здесь x –функция, а y –ее аргумент). То есть, и взаимнообратные функции.

Из таблицыпроизводных видим,что и .

Убедимся,что формулы нахождения производныхобратной функции приводят нас к этимже результатам:

Каквидите, получили такие же результатыкак и в таблице производных.

Теперьмы обладаем знаниями для доказательстваформул производных обратныхтригонометрических функций.

Начнемс производной арксинуса.

Для обратнойфункцией является .Тогда по формуле производной обратнойфункции получаем

Осталосьпровести преобразования.

Таккак областью значений арксинуса являетсяинтервал ,то (смотритераздел основныеэлементарные функции, их свойства играфики). Поэтому ,а нерассматриваем.

Следовательно, .Областью определения производнойарксинуса является промежуток (-1;1).

Дляарккосинуса все делается абсолютноаналогично:

Найдемпроизводную арктангенса.

Для обратнойфункцией является .

Выразимарктангенс через арккосинус, чтобыупростить полученное выражение.

Пусть arctgx= z,тогда

Следовательно,

Схожимобразом находится производнаяарккотангенса:

Источник: https://studfile.net/preview/4242446/page:3/

Удивительная особенность производной e в степени х

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Многие числа обрели свою величину и суеверное значение еще в древности. В наши дни к ним добавляются новые мифы. Существует много легенд о числе пи, немногим уступают ему в известности знаменитые числа Фибоначчи. Но, пожалуй, самым удивительным является число е, без которого не может обойтисьсовременная математика, физика и даже экономика.

Арифметическое значение числа е равно приблизительно 2,718.

Почему не точно, а приблизительно? Потому что это число иррациональное и трансцендентное, его нельзя выразить дробью с натуральными целыми числами или многочленом с рациональными коэффициентами.

Для большинства расчетов указанной точности значения в 2,718 достаточно, хотя современный уровень вычислительной техники позволяет определить его значение с точностью более триллиона знаков после запятой.

Главной особенностью числа е является то, что производная его показательной функции f (x) = ex равно значению самой функции ех. Такого необычного свойства нет больше ни у какой другой математической зависимости. Расскажем об этом чуть подробнее.

Что такое предел

Вначале разберемся с понятием предела. Рассмотрим какое-нибудь математическое выражение, например, i = 1/n.

Можно увидеть, что при увеличении «n «, значение «i «будет уменьшаться, а при стремлении «n» к бесконечности (которая обозначается значком ∞), «i» будет стремиться к предельному значению (называемого чаще просто пределом), равному нулю. Выражение предела (обозначаемого как lim) для рассматриваемого случая можно записать в виде lim n →∞ (1/ n) = 0 .

Существуют различные пределы для различных выражений. Одним из таких пределов, вошедших в советские и российские учебники как второй замечательный предел, является выражение lim n →∞ (1+1/ n) n . Уже в Средневековье было установлено, что пределом этого выражения является число е.

К первому же замечательному пределу относят выражение lim n →∞ (Sin n / n) = 1.

Как найти производную ex – в этом видео.

Что такое производная функции

Для раскрытия понятия производной следует напомнить что такое функция в математике.

Чтобы не загромождать текст сложными определениями, остановимся на интуитивном математическом понятии функции, заключающимся в том, что в ней одна или несколько величин полностью определяют значение другой величины, если они взаимосвязаны. Например, в формуле S = π ∙ r 2 площади круга, значение радиуса r полностью и однозначно определяет площадь круга S.

В зависимости от вида, функции могут быть алгебраическими, тригонометрическими, логарифмическими и др. В них могут быть взаимосвязаны два, три и более аргументов.

Например, пройденное расстояние S, которое объект преодолел с равноускоренной скоростью, описывается функцией S = 0,5 ∙ a ∙ t 2 + V ∙ t, где «t» — время движения, аргумент «а» ускорение (может быть как положительной, так и отрицательной величиной) и «V» начальная скорость движения.

Таким образом, величина пройденного расстояния зависит от значений трех аргументов, два из которых («а» и «V») постоянны.

Покажем на этом примере элементарное понятие производной функции. Оно характеризует скорость изменения функции в данной точке. В нашем примере это будет скорость движения объекта в конкретный момент времени. При постоянных «а» и «V» она зависит только от времени «t», то есть говоря научным языком нужно взять производную функции S по времени «t».

Этот процесс называется дифференцированием, выполняется путем вычисления предела отношения прироста функции к приросту ее аргумента на ничтожно малую величину. Решения подобных задач для отдельных функций часто является непростым делом и здесь не рассматриваются. Также стоит отметить, что некоторые функции в определенных точках вообще не имеют таких пределов.

В нашем же примере производная S по времени «t» примет вид S' = ds/dt = а ∙ t + V, из которого видно, что скорость S' изменяется по линейному закону в зависимости от «t».

Производная экспоненты

Экспонентой называется показательная функция, в качестве основания которой находится число е. Она обычно отображается в виде F (x) = ex, где показатель степени x является переменной величиной. Данная функция обладает полной дифференцируемостью во всем диапазоне вещественных чисел. С ростом x она постоянно возрастает и всегда больше нуля. Обратная к ней функция — логарифм.

Известный математик Тейлор сумел разложить эту функцию в ряд, названный его именем ex = 1 + x/1! + x 2 /2! + x 3 /3! + … в диапазоне x от — ∞ до + ∞.

Закон, базирующийся на этой функции, называется экспоненциальным. Он описывает:

  • возрастание сложных банковских процентов;
  • увеличение популяции животных и населения планеты;
  • время окоченения трупа и многое другое.

Повторим еще раз замечательное свойство данной зависимости — значение ее производной в любой точке всегда равно значению функции в этой точке, то есть (ex)' = ex .

Приведем производные для наиболее общих случаев экспоненты:

  • (eax)' = a ∙ eax ;
  • (ef (x))' = f'(x) ∙ ef (x).

Используя данные зависимости, несложно найти производные для других частных видов этой функции.

Некоторые интересные факты о числе е

С этим числом связаны фамилии таких ученых, как Непер, Отред, Гюйгенс, Бернулли, Лейбниц, Ньютон, Эйлер, и другие. Последний собственно и ввел обозначение е для этого числа, а также нашел первые 18 знаков, используя для расчета открытый им ряд е = 1 + 1/1! + 2/2! + 3/3! …

Число e встречается в самых неожиданных местах. Например, оно входит в уравнение цепной линии, которое описывает провис каната под действием собственного веса, когда его концы закреплены на опорах.

Тема видеоурока – производная показательной функции.

Источник: https://LivePosts.ru/articles/education-articles/matematika/udivitelnaya-osobennost-proizvodnoj-e-v-stepeni-h

Вывод основных производных. Производная e в степени x и показательной функции

Вывод формулы производной. Производная e в степени x и показательной функции

Формулы 3 и 5 докажите самостоятельно.

ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛАДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

Применяя общий способнахождения производной с помощью предела можно получить простейшие формулыдифференцирования. Пусть u=u(x),v=v(x) –две дифференцируемые функции от переменной x.

Формулы 1 и 2 докажите самостоятельно.

Доказательство формулы 3.

Пусть y = u(x) + v(x).Для значения аргумента xx имеем y(xx)=u(xx) + v(xx).

Δy=y(xx) – y(x) =u(xx) +v(xx)u(x)v(x)uv.

Следовательно,

Доказательство формулы 4.

Пусть y=u(x)·v(x).Тогда y(xx)=u(xxv(xx), поэтому

Δy=u(xxv(xx) – u(xv(x).

Заметим, что посколькукаждая из функций u и v дифференцируема в точке x, то они непрерывны в этойточке, а значит u(xx)→u(x), v(xx)→v(x), приΔx→0.

Поэтому можем записать

На основании этого свойстваможно получить правило дифференцирования произведения любого числа функций.

Пусть, например, y=u·v·w. Тогда,

y ” = u “·(w) + u·(v ·w) ” = u “·v·w + u·(v “·w +v·w “) = u “·v·w + u·v “·w + u·v·w “.

Доказательство формулы 5.

Пусть . Тогда

При доказательствевоспользовались тем, что v(x+Δx)v(x)при Δx→0.

Примеры.

ТЕОРЕМА О ПРОИЗВОДНОЙ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ

Пусть y = f(u),а u= u(x). Получаем функцию y, зависящую от аргумента x: y = f(u(x)).Последняя функция называется функцией от функции или сложной функцией.

Областью определения функцииy = f(u(x))является либо вся область определения функции u=u(x) либо та ее часть, в которой определяются значения u, не выходящие из областиопределения функции y= f(u).

Операция “функция от функции” может проводиться не одинраз, а любое число раз.

Установим правилодифференцирования сложной функции.

Теорема.

Если функцияu= u(x) имеет в некоторой точке x 0 производную и принимает в этойточке значение u 0 = u(x 0), а функция y= f(u) имеетв точке u 0 производную y ” u = f “(u 0), то сложная функция y = f(u(x)) вуказанной точке x 0 тоже имеет производную, которая равна y ” x = f “(u 0u “(x 0), где вместо u должно быть подставлено выражение u= u(x).

Таким образом, производнаясложной функции равна произведению производной данной функции по промежуточномуаргументу u на производнуюпромежуточного аргумента по x.

Доказательство. При фиксированном значениих 0будем иметь u 0 =u(x 0), у 0 =f(u 0 ). Длянового значения аргумента x 0x:

Δu= u(x 0 + Δx) – u(x 0), Δy=f(u 0u) – f(u 0).

Т.к. u – дифференцируемав точке x 0, то u – непрерывна в этой точке. Поэтомупри Δx→0 Δu→0. Аналогично при Δu→0 Δy→0.

По условию .Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Δu→0)

где α→0 при Δu→0, а, следовательно, и при Δx→0.

Перепишем это равенство ввиде:

Δy= y ” u Δu+α·Δu.

Полученное равенствосправедливо и при Δu=0 при произвольномα, так как оно превращается втождество 0=0. При Δu=0 будем полагать α=0. Разделим все членыполученного равенства на Δx

.

По условию .Поэтому, переходя к пределу при Δx→0, получим y ” x =y ” u ·u ” x. Теорема доказана.

Итак, чтобыпродифференцировать сложную функцию y = f(u(x)),нужно взять производную от “внешней” функции f, рассматривая ее аргумент просто какпеременную, и умножить на производную от “внутренней” функции по независимойпеременной.

Если функцию y=f(x) можнопредставить в виде y=f(u), u=u(v), v=v(x),то нахождение производной y ” x осуществляетсяпоследовательным применением предыдущей теоремы.

По доказанному правилу имеемy ” x = y ” u ·u ” x. Применяя эту же теорему для u ” xполучаем , т.е.

y ” x = y ” x · u ” v · v ” x = f ” u (uu ” v (vv ” x (x).

Примеры.

ПОНЯТИЕ ОБРАТНОЙ ФУНКЦИИ

Начнем с примера. Рассмотримфункцию y= x 3. Будем рассматривать равенство y= x 3 как уравнение относительно x. Это уравнение для каждогозначения уопределяет единственное значение x: .

Геометрически это значит, что всякая прямая параллельная оси Oxпересекает график функции y= x 3 только в одной точке.Поэтому мы можем рассматривать x какфункцию от y.

Функция называется обратной по отношению к функции y= x 3.

Прежде чем перейти к общемуслучаю, введем определения.

Функция y = f(x) называетсявозрастающей на некотором отрезке,если большему значению аргумента x изэтого отрезка соответствует большее значение функции, т.е. если x 2 >x 1 , то f(x 2 ) > f(x 1 ).

Аналогично функцияназывается убывающей, если меньшемузначению аргумента соответствует большее значение функции, т.е. еслих 2 < х 1, то f(x 2 ) > f(х 1 ).

Итак, пусть данавозрастающая или убывающая функция y= f(x),определенная на некотором отрезке [a; b]. Для определенности будемрассматривать возрастающую функцию (для убывающей всеаналогично).

Рассмотрим два различныхзначения хх 2 . Пусть y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Изопределения возрастающей функции следует, что если x 1

Источник: https://papeleta.ru/symptoms-throat/vyvod-osnovnyh-proizvodnyh-proizvodnaya-e-v-stepeni-x-i-pokazatelnoi/

WikiHelpProstuda.Ru
Добавить комментарий