Что такое производная определение. Производная по определению (через предел)

Производная: основные определения и понятия

Что такое производная определение. Производная по определению (через предел)

Данная статья рассматривает основные понятия, для решения задач с производными с одной переменной.

Определение 1

Пусть х – это аргумент функции f(x) и ∆x возьмем малое число, не равное 0. Значение ∆x называют приращением аргумента функции и читают как «дельта икс». На рисунке видно, что красная линия относится для изменений аргумента от значения х до x+∆x.

Определение 2

Когда значение аргумента x0 переходит к x0+∆x, тогда и значение функции меняется от f(x0) до f(x0+∆x), если имеется условие монотонности функции из отрезка [x0;x0+∆x]. Приращение функции f(x) – это разность f(x0+∆x)-f(x0)=∆f(x) приращения аргумента. Это приведено на рисунке, расположенном ниже.

Пример 1

Для полного уяснения рассмотрим на конкретном примере. Если взять функцию f(x)=sin(x2), тогда следует зафиксировать точку x0=1.6 и приращение аргумента вида ∆x=0.4. Тогда получим, что приращение функции при переходе от x0=1.6 к x0+∆x=1.6+0.4=2 будет равно:

∆f(x)=∆sin(x2)=sin((x0+∆x)2)-sin(x02)==sin 22-sin 1.62=sin 4-sin 2.56≈-1.306

Так как приращение ∆f(x) отрицательное из отрезка [1.6; 2], то это указывает на убывание функции. Обозначим это графически.

Определение производной функции в точке

Когда функция вида f(x) определена из промежутка (a;b), тогда x0 и x0+∆x считаются точками данного промежутка. Производная функции f(x) в точке x0 – это предел отношений приращения функции к приращению аргумента, когда ∆x→0. Данное определение записывается как f'(x0)=lim∆x→0∆f(x)∆x.

Если последний предел принимает конкретное значение, тогда существует конечная производная в точке. Когда предел бесконечен, то и сама производная бесконечна в этой точке. Когда предел не существует, то и производной в заданной точке не существует.

Функция f(x) дифференцируема в точке x0, если конечная производная в ней существует.

Когда функция вида f(x) дифференцируема в каждой точке из промежутка (a;b), тогда функцию называют дифференцируемой на заданном промежутке. Отсюда получаем, что любая точка х из промежутка (a;b) может принимать значения функции f'(x), иначе говоря, имеет место определение новой функции вида f'(x), которая называется производной функции f(x) из интервала (a;b).

Нахождение производной иначе называют дифференцированием

Из выше указанного получаем, что производная в точке является числом, а производная функции на промежутке является функцией. Когда необходимо вычислять производную, обязательно обращаемся к нахождению переделов.

Пример 2

Найти производную функции sin(2x) в точке x0=π6.

Решение

Для нахождения производной в точке необходимо начать с написания предела отношения приращения функции к приращению аргумента, применив тригонометрические формулы. Получаем, что

(sin(2×0))'=lim∆x→0∆sin(2×0)∆x=lim∆x→0sin(2(x0+∆x))-sin(2×0)∆x==lim∆x→02·sin2(x0+∆x)-2×03·cos2(x0+∆x)+2×02∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x

Для упрощения используем первый замечательный предел и в результате получаем, что

(sin(2×0))'=2·lim∆x→0sin(∆x)·cos(2×0+∆x)∆x==2·lim∆x→0sin(∆x)∆x·lim∆x→0cos(2×0+∆x)==2·1·cos(2×0+0)=2cos(2×0)=2cos2·π6==2cosπ3=2·12=1

Ответ: (sin(2×0))'=1.

Пример 3

Найти производную функции f(x)=3×3-1 из промежутка x∈133; +∞

Решение

Для поиска производной из интервала понимаем, что результат должен быть функцией. Тогда x0=x, где значение х возьмем любое число из заданного промежутка x∈133; +∞. Из определения видно, что производной считают отношение приращения функции на приращение аргумента, который стремится к нулю. Запишем

f'(x)=3×3-1'=lim∆x→0f(x+∆x)-f(x)∆x==lim∆x→03(3+∆x)3-1-3×3-1∆x=00

Получаем неопределенность в результате. Поэтому следует произвести домножение на сопряженное выражение для применения формул сокращенного умножения, приведения подобных слагаемых и последующим сокращением выражения. Тогда получим, что

f'(x)=lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-1∆x==lim∆x→0(3(x+∆x)3-1-3×3-1)(3(x+∆x)3-1+3×3-1)∆x·(3(x+∆x)3-1+3×3-1)==lim∆x→03(x+∆x)3-1-3×3-12∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==lim∆x→03(x+∆x)3-1-(3×3-1)∆x·3(x+∆x)3-1+3×3-1==3·lim∆x→03×2+3x∆x+(∆x)23(x+∆x)3-1+3×3-1==3·3×2+3x·0+(0)23(x+0)3-1+3×3-1=9x223x3-1

Ответ: 3×3-1'=9x223x3-1 и x∈133; +∞

Для решения таких примеров необходимо учитывать то, что область определения функции f(x) может не совпадать с областью определения производной этой функции.

Предыдущий пример имеет область определения вида Dfx:x∈[133;+∞), а производная определена на интервале Dfx:x∈133;+∞.

То есть при дифференцировании функция f'(x) – это производная заданной функции f(x) из промежутка x∈D(f(x))D(f'(x)).

Получение формул таблиц производных основано на определении производной. Они достаточно удобны, что способствует скорейшему дифференцированию сложных выражений. Использование понятия производной применяют для доказательств правил дифференцирования.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Источник: https://Zaochnik.com/spravochnik/matematika/proizvodnye/proizvodnaja/

Производная, основные определения и понятия

Что такое производная определение. Производная по определению (через предел)
Производная, нахождение производной

В этой статье дадим основные понятия, на которых будет базироваться вся дальнейшая теория по теме производная функции одной переменной.

Путь x – аргумент функции f(x) и – малое число, отличное от нуля.

(читается «дельта икс») называют приращением аргумента функции. На рисунке красной линией показано изменение аргумента от значения x до значения (отсюда видна суть названия «приращение» аргумента).

При переходе от значения аргумента к значения функции изменяются соответственно от до при условии монотонности функции на отрезке . Разность называют приращением функции f(x), соответствующем данному приращению аргумента. На рисунке приращение функции показано синей линией.

Рассмотрим эти понятия на конкретном примере.

Возьмем, к примеру, функцию . Зафиксируем точку и приращение аргумента . В этом случае приращение функции при переходе от к будет равно

Отрицательное приращение говорит об убывании функции на отрезке .

Графическая иллюстрация

Определение производной функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на промежутке (a; b), и – точки этого промежутка. Производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при . Обозначается .

Когда последний предел принимает конкретное конечное значение, то говорят о существовании конечной производной в точке. Если предел бесконечен, то говорят, что производная бесконечна в данной точке. Если же предел не существует, то и производная функции в этой точке не существует.

Функцию f(x) называют дифференцируемой в точке , когда она имеет в ней конечную производную.

Если функция f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка (a; b), то функцию называют дифференцируемой на этом промежутке. Таким образом, любой точке x из промежутка (a; b) можно поставить в соответствие значение производной функции в этой точке , то есть, мы имеем возможность определить новую функцию , которую называют производной функции f(x) на интервале (a; b).

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Проведем разграничения в природе понятий производной функции в точке и на промежутке: производная функции в точке – это есть число, а производная функции на промежутке – это есть функция.

Давайте разберем это на примерах для ясности картины. При дифференцировании будем пользоваться определением производной, то есть переходить к нахождению пределов. При возникновении трудностей рекомендуем обращаться к разделу теории пределы, основные определения, примеры нахождения, задачи и подробные решения.

Найти производную функции в точке , используя определение.

Так как мы ищем производную функции в точке, то в ответе должно быть число. Запишем предел отношения приращения функции к приращению аргумента и воспользуемся формулами тригонометрии:

Осталось применить первый замечательный предел для получения конечного результата:

Найдите производную функции на промежутке , пользуясь определением.

Так как мы ищем производную функции на интервале, то в ответе должна получиться функция. Возьмем , где x – любое число из промежутка . По определению, производная есть предел отношения приращения функции к приращению аргумента, при приращении аргумента, стремящемся к нулю:

Таким образом, пришли к неопределенности. Для нахождения подобных пределов используют домножение на сопряженное выражение с последующим применением формул сокращенного умножения, приведением подобных слагаемых и сокращением:

при .

Давайте еще остановимся на одном очень важном моменте: область определения функции f(x) далеко не всегда совпадает с областью определения производной.

Заметьте, в предыдущем примере областью определения исходной функции является промежуток , а производная определена на интервале . Что мы хотим этим сказать.

Да то, что при дифференцировании в идеале ответ звучит так: функция является производной функции f(x) на промежутке

На основании определения производной получены многие формулы таблицы производных основных элементарных функций, которые очень ускоряют дифференцирование. Понятие производной также используется при доказательстве правил дифференцирования.

Некогда разбираться?

Закажите решение

К началу страницы

Источник: http://www.cleverstudents.ru/derivative/derivative_basic_definitions_and_conceptions.html

Производная функции

Что такое производная определение. Производная по определению (через предел)

Производная (функции в точке) — основное понятие дифференциального исчисления, которое характеризует скорость изменения функции (в конкретной точке).

Производную определяют как предел отношения приращения функции к приращению ее аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть. Функция, которая имеет конечную производную (в некоторой точке), называется дифференцируемой (в данной точке).

Процесс нахождения производной является дифференцированием. Обратный процесс — вычисление первообразной — интегрирование.

Изображение понятия производной:

Рассмотрим взятую наугад внутреннюю точку x0 области определения функции y = f(x).

Разность  где x – тоже внутренняя точка области определения, является приращением аргумента в точке x0.

Разность  является приращением функции в точке x0, соответствующим приращению  и обозначают как .

Производной функции y = f(x) в точке x0 является предел отношения приращения функции к приращению аргумента в этой точке при стремлении приращения аргумента к 0, если такой предел есть и конечен, то есть:

Основные свойства производных

Если в точке x есть конечные производные функций v = v(x) и u = u(x), тогда в этой точке есть и производные суммы, разности, произведения и частного таких функций, при этом:

1. ,

2. ,

3. ,

4.  при ,

5. , .

1. Производная сложной функции.

Если у функции y = f(x) есть производная в точке x0, а у функции y = g(x) есть производная в точке y0 = f(x0), тогда у сложной функции h(x) = g(f(x)) тоже есть производная в точке x0, при этом:

2. Достаточное условие монотонности функции.

Если во всех точках интервала (a; b) выполняется неравенство:

то функция y = f(x) возрастает на этом интервале.

Если  при  то y = f(x) убывает на (a; b).

3. Необходимое условие экстремума функции.

Если точка x0 оказывается точкой экстремума функции y = f(x) и в этой точке есть производная , тогда она равняется 0:

4. Признак максимума функции.

Если функция y = f(x) определена на интервале (a; b), непрерывна в точке , у нее есть производная  на интервалах ,  и  на интервале  и , на интервале , то точка x0 оказывается точкой максимума функции:

5. Признак минимума функции.

Если функция  определена на интервале , непрерывна в точке , у нее есть производная  на интервалах , и , на интервале  и  на интервале , то точка x0 оказывается точкой минимума функции:

Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции

Чтобы вычислить самое большое и маленькое значения функции, которая имеет на отрезке конечное количество критических точек (точек из области определения, обращающих производную функции в ноль либо не существует), необходимо определить значения функции в каждой критической точке и на концах отрезка и выбрать самое большое и маленькое из полученных чисел.

Определение производной функции

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция . Производной функции является такое число A, что функцию в окрестности  можно представить как:

если A существует.

Определение производной функции через предел

Пусть в некоторой окрестности точки  определена функция . Производной функции f в точке  является предел, если он существует:

Общепринятые обозначения производной функции  в точке

Обратите внимание, что последнее зачастую обозначает производную по времени (в теоретической механике).

Геометрический и физический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной прямой.

Если у функции  есть конечная производная в точке , тогда в окрестности  ее можно приблизить линейной функцией:

Функция  является касательной к f в точке . Число  называется угловым коэффициентом или тангенсом угла наклона касательной прямой.

Скорость изменения функции.

Пусть  — закон прямолинейного движения. Тогда  выражает мгновенную скорость движения в момент времени . Вторая производная  выражает мгновенное ускорение в момент времени

В общем производная функции  в точке  выражает скорость изменения функции в точке , т.е. скорость протекания процесса, который описан зависимостью

Примеры производных функций

  • Пусть . Тогда
  • Пусть . Тогда если  то

где  обозначает функцию знака. А если  то , а следовательно  не существует.

Способы задания производных

Источник: https://www.calc.ru/Proizvodnaya-Funktsii.html

WikiHelpProstuda.Ru
Добавить комментарий