Что называется матрицей размера m n. (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры

Матрицы, определители, системы линейных уравнений (Лекция №12)

Что называется матрицей размера m n. (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МАТРИЦЫ. ВИДЫ МАТРИЦ

Матрицей размером m×n называется совокупность m·n чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов. Эту таблицу обычно заключают в круглые скобки. Например, матрица может иметь вид:

Для краткости матрицу можно обозначать одной заглавной буквой, например, А или В.

В общем виде матрицу размером m×n записывают так

.

Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы. Элементы матрицы удобно снабжать двумя индексами aij: первый указывает номер строки, а второй – номер столбца. Например, a23 – элемент стоит во 2-ой строке, 3-м столбце.

Если в матрице число строк равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, причём число ее строк или столбцов называется порядком матрицы. В приведённых выше примерах квадратными являются вторая матрица – её порядок равен 3, и четвёртая матрица – её порядок 1.

Матрица, в которой число строк не равно числу столбцов, называется прямоугольной. В примерах это первая матрица и третья.

Различаются также матрицы, имеющие только одну строку или один столбец.

Матрица, у которой всего одна строка , называется матрицей – строкой (или строковой), а матрица, у которой всего один столбец, матрицей – столбцом.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой и обозначается (0), или просто 0. Например,

.

Главной диагональю квадратной матрицы назовём диагональ, идущую из левого верхнего в правый нижний угол.

Квадратная матрица, у которой все элементы, лежащие ниже главной диагонали, равны нулю, называется треугольной матрицей.

.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю, называется диагональной матрицей. Например, или .

Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается буквой E. Например, единичная матрица 3-го порядка имеет вид .

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Равенство матриц. Две матрицы A и B называются равными, если они имеют одинаковое число строк и столбцов и их соответствующие элементы равны aij = bij. Так если и , то A=B, если a11 = b11, a12 = b12, a21 = b21 и a22 = b22.

Транспонирование. Рассмотрим произвольную матрицу A из m строк и n столбцов. Ей можно сопоставить такую матрицу B из n строк и m столбцов, у которой каждая строка является столбцом матрицы A с тем же номером (следовательно, каждый столбец является строкой матрицы A с тем же номером). Итак, если , то .

Эту матрицу B называют транспонированной матрицей A, а переход от A к B транспонированием.

Таким образом, транспонирование – это перемена ролями строк и столбцов матрицы. Матрицу, транспонированную к матрице A, обычно обозначают AT.

Связь между матрицей A и её транспонированной можно записать в виде .

Например. Найти матрицу транспонированную данной.

    Сложение матриц. Пусть матрицы A и B состоят из одинакового числа строк и одинакового числа столбцов, т.е. имеют одинаковые размеры.

    Тогда для того, чтобы сложить матрицы A и B нужно к элементам матрицы A прибавить элементы матрицы B, стоящие на тех же местах.

    Таким образом, суммой двух матриц A и B называется матрица C, которая определяется по правилу, например,

    или

    Примеры. Найти сумму матриц:

    1. .
    2. – нельзя, т.к. размеры матриц различны.
    3. .

    Легко проверить, что сложение матриц подчиняется следующим законам: коммутативному A+B=B+A и ассоциативному (A+B)+C=A+(B+C).

    Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу A на число k нужно каждый элемент матрицы A умножить на это число. Таким образом, произведение матрицы A на число k есть новая матрица, которая определяется по правилу или .

    Для любых чисел a и b и матриц A и B выполняются равенства:

    1. .

    Примеры.

    1. .
    2. Найти 2A-B, если , .

      .

    3. Найти C=–3A+4B.

      Матрицу C найти нельзя, т.к. матрицы A и B имеют разные размеры.

    Умножение матриц. Эта операция осуществляется по своеобразному закону. Прежде всего, заметим, что размеры матриц–сомножителей должны быть согласованы.

    Перемножать можно только те матрицы, у которых число столбцов первой матрицы совпадает с числом строк второй матрицы (т.е. длина строки первой равна высоте столбца второй).

    Произведением матрицы A не матрицу B называется новая матрица C=AB, элементы которой составляются следующим образом:

    .

    Таким образом, например, чтобы получить у произведения (т.е.

    в матрице C) элемент, стоящий в 1-ой строке и 3-м столбце c13, нужно в 1-ой матрице взять 1-ую строку, во 2-ой – 3-й столбец, и затем элементы строки умножить на соответствующие элементы столбца и полученные произведения сложить. И другие элементы матрицы-произведения получаются с помощью аналогичного произведения строк первой матрицы на столбцы второй матрицы.

    В общем случае, если мы умножаем матрицу A = (aij) размера m×n на матрицу B = (bij) размера n×p, то получим матрицу C размера m×p, элементы которой вычисляются следующим образом: элемент cij получается в результате произведения элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B и их сложения.

    Из этого правила следует, что всегда можно перемножать две квадратные матрицы одного порядка, в результате получим квадратную матрицу того же порядка. В частности, квадратную матрицу всегда можно умножить саму на себя, т.е. возвести в квадрат.

    Другим важным случаем является умножение матрицы–строки на матрицу–столбец, причём ширина первой должна быть равна высоте второй, в результате получим матрицу первого порядка (т.е. один элемент). Действительно,

    .

    Примеры.

    1. Пусть

      Найти элементы c12, c23 и c21 матрицы C.

    2. Найти произведение матриц.

      .

    3. .
    4. – нельзя, т.к. ширина первой матрицы равна 2-м элементам, а высота второй – 3-м.
    5. Пусть

      Найти АВ и ВА.

    6. Найти АВ и ВА.

      , B·A – не имеет смысла.

    Таким образом, эти простые примеры показывают, что матрицы, вообще говоря, не перестановочны друг с другом, т.е. A∙BB∙A. Поэтому при умножении матриц нужно тщательно следить за порядком множителей.

    Можно проверить, что умножение матриц подчиняется ассоциативному и дистрибутивному законам, т.е. (AB)C=A(BC) и (A+B)C=AC+BC.

    Легко также проверить, что при умножении квадратной матрицы A на единичную матрицу E того же порядка вновь получим матрицу A, причём AE=EA=A.

    Можно отметить следующий любопытный факт. Как известно произведение 2-х отличных от нуля чисел не равно 0. Для матриц это может не иметь места, т.е. произведение 2-х не нулевых матриц может оказаться равным нулевой матрице.

    Например, если , то

    .

    ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

    Пусть дана матрица второго порядка – квадратная матрица, состоящая из двух строк и двух столбцов .

    Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, получаемое следующим образом: a11a22 – a12a21.

    Определитель обозначается символом .

    Итак, для того чтобы найти определитель второго порядка нужно из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов по второй диагонали.

    Примеры. Вычислить определители второго порядка.

    1. .
    2. Вычислить определитель матрицы D, если D= -А+2В и

    Аналогично можно рассмотреть матрицу третьего порядка и соответствующий ей определитель.

    Определителем третьего порядка, соответствующим данной квадратной матрице третьего порядка, называется число, обозначаемое и получаемое следующим образом:

    .

    Таким образом, эта формула даёт разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки a11, a12, a13 и сводит вычисление определителя третьего порядка к вычислению определителей второго порядка.

    Примеры. Вычислить определитель третьего порядка.

    1. .
    2. .
    3. Решите уравнение..

      .

      (x+3)(4x-4-3x)+4(3x-4x+4)=0.

      (x+3)(x-4)+4(-x+4)=0.

      (x-4)(x-1)=0.

      x1 = 4, x2 = 1.

    Аналогично можно ввести понятия определителей четвёртого, пятого и т.д. порядков, понижая их порядок разложением по элементам 1-ой строки, при этом знаки “+” и “–” у слагаемых чередуются.

    Итак, в отличие от матрицы, которая представляют собой таблицу чисел, определитель это число, которое определённым образом ставится в соответствие матрице.

    Источник: https://toehelp.ru/theory/math/lecture12/lecture12.html

    (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры. Определители квадратных матриц

    Что называется матрицей размера m n. (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры

    Матрицы в математике – один из важнейших объектов, имеющих прикладное значение. Частоэкскурс в теорию матриц начинают со слов: “Матрица – это прямоугольная таблица…”. Мы начнём этот экскурснесколько с другой стороны.

    Телефонные книги любого размера и с любым числом данных об абоненте – ни что иное, как матрицы. Такие матрицыимеют примерно следующий вид:

    Ясно, что такими матрицами мы все пользуемся почти каждый день.

    Эти матрицы бывают с различнымчислом строк (различаются как выпущенный телефонной компанией справочник, в котором могут быть тысячи, сотни тысяч и даже миллионы строки только что начатая Вами новая записная книжка, в которой меньше десяти строк) и столбцов (справочник должностных лиц какой-нибудьорганизации, в котором могут быть такие столбцы, как должность и номер кабинета и та же Ваша записная книжка, гдеможет не быть никаких данных, кроме имени, и, таким образом, в ней только два столбца – имя и телефон).

    Всякие матрицы можно складывать и умножать, а также проводить над ними другие операции,однако нет необходимости складывать и умножать телефонные справочники, от этого нет никакой пользы, к томуже можно и подвинуться рассудком.

    Но очень многие матрицы можно и нужно складывать и перемножать и решать таким образомразличные насущные задачи. Ниже примеры таких матриц.

    Матрицы, в которых столбцы – выпуск единиц продукции того или иного вида, а строки- годы, в которых ведётся учёт выпуска этой продукции:

    Можно складывать матрицы такого вида, в которых учтён выпуск аналогичной продукцииразличными предприятиями, чтобы получить суммарные данные по отрасли.

    Или матрицы, состоящие, к примеру, из одного столбца, в которых строки -средняя себестоимость того или иного вида продукции:

    Матрицы двух последних видов можно умножать, а в результате получится матрица-строка,содержащая себестоимость всех видов продукции по годам.

    Матрицы, основные определения

    Прямоугольная таблица, состоящая из чисел, расположенных в m строках и nстолбцах, называется mn-матрицей(или просто матрицей) и записывается так:

    (1)

    В матрице (1) числаназываются её элементами(как и в определителе, первый индекс означает номер строки, второй – столбца, на пересечении которых стоит элемент; i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, n).

    Матрица называется прямоугольной, если.

    Если же m = n , то матрица называется квадратной, а число n – её порядком.

    Определителем квадратной матрицы Aназывается определитель, элементами которого являются элементы матрицы A. Он обозначается символом |A|.

    Квадратная матрица называется неособенной(или невырожденной, несингулярной), если её определитель не равен нулю, и особенной(или вырожденной, сингулярной), если её определитель равен нулю.

    Матрицы называются равными, если у них одинаковое число строк и столбцов и все соответствующие элементы совпадают.

    Матрица называется нулевой, если всё её элементы равны нулю. Нулевую матрицу будем обозначать символом 0или.

    Например,

    Матрицей-строкой(или строчной) называется 1n-матрица, а матрицей-столбцом(или столбцовой) – m1-матрица.

    Матрица A“, которая получается из матрицыA заменой в ней местами строк и столбцов, называется транспонированнойотносительно матрицы A. Таким образом, для матрицы (1) транспонированной является матрица

    Операция перехода к матрице A“,транспонированной относительно матрицы A, называется транспонированием матрицы A.Для mn-матрицы транспонированной является nm-матрица.

    Транспонированной относительно матрицыявляется матрица A, то есть

    (A“)” = A.

    Пример 1. Найти матрицу A“,транспонированную относительно матрицы

    и выяснить, равны ли определители исходной и транспонированной матриц.

    Главной диагональюквадратной матрицы называется воображаемая линия, соединяющая её элементы, у которых оба индекса одинаковые. Эти элементы называются диагональными.

    Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной. Не обязательно все диагональные элементы диагональной матрицы отличны от нуля. Среди них могут быть и равные нулю.

    Квадратная матрица, у которой элементы, стоящие на главной диагонали равны одному и тому же числу, отличному от нуля, авсе прочие равны нулю, называется скалярной матрицей.

    Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице. Например, единичной матрицей третьего порядка является матрица

    Пример 2. Даны матрицы:

    Решение. Вычислим определители данных матриц. Пользуясь правилом треугольников, найдём

    Определитель матрицы B вычислим по формуле

    Легко получаем, что

    Следовательно, матрицы A и– неособенные (невырожденные, несингулярные), а матрица B– особенная (вырожденная, сингулярная).

    Определитель единичной матрицы любого порядка, очевидно, равен единице.

    Решить задачу на матрицы самостоятельно, а затем посмотреть решение

    Пример 3. Даны матрицы

    ,

    ,

    Установить, какие из них являются неособенными (невырожденными, несингулярными).

    Применение матриц в математико-экономическом моделировании

    В виде матриц просто и удобно записываются структурированные данные о том или ином объекте. Матричныемодели создаются не только для хранения этих структурированных данных, но и для решения различных задач с этими даннымисредствами линейной алгебры.

    Так, известной матричной моделью экономики является модель “затраты-выпуск”, внедрённая американскимэкономистом русского происхождения Василием Леонтьевым. Эта модель исходит из предположения, что весь производственныйсектор экономики разбит на n чистых отраслей.

    Каждая из отраслей выпускает продукцию только одного вида и разные отрасливыпускают разную продукцию.

    Из-за такого разделения труда между отраслями существуют межотраслевые связи, смысл которыхсостоит в том, что часть продукции каждой отрасли передаётся другим отраслям в качестве ресурса производства.

    Объём продукции i-й отрасли (измеряемый определённой единицей измерения), которая была произведеназа отчётный период, обозначается через иназывается полным выпуском i-й отрасли. Выпускиудобно разместить в n-компонентную строку матрицы.

    Количество единиц продукции i-й отрасли, которое необходимо затратить j-йотрасли для производства единицы своей продукции, обозначаетсяи называется коэффициентом прямых затрат.

    Опр.Прямоугольная таблица, состоящая из тстрок и пстолбцов действительных чисел называетсяматрицейразмера т×п.Матрицы обозначают заглавными латинскимибуквами: А, В,…, а массив чисел выделяюткруглыми или квадратными скобками.

    Числа, входящие втаблицу, называются элементами матрицыи обозначаются малыми латинскими буквамис двойным индексом,гдеi– номер строки, j– номер столбца, на пресечении которыхрасположен элемент. В общем виде матрицазаписывается так:

    Две матрицысчитаются равными,если равны их соответствующие элементы.

    Если число строкматрицы травно числуее столбцов п,то матрица называется квадратной(в противном случае – прямоугольной).

    Матрица размера
    называется матрицей-строкой. Матрицаразмера

    называетсяматрицей-столбцом.

    Элементы матрицы,имеющие равные индексы (
    и т.д.), образуютглавнуюдиагональматрицы. Другая диагональ называетсяпобочной.

    Квадратная матрицаназывается диагональной,если все ее элементы, расположенные внеглавной диагонали, равны нулю.

    Диагональнаяматрица, у которой диагональные элементыравны единице, называется единичнойматрицей и имеет стандартное обозначениеЕ:

    Если все элементыматрицы, расположенные выше (или ниже)главной диагонали равны нулю, говорят,что матрица имеет треугольный вид:

    §2. Операции над матрицами

    1. Транспонированиематрицы – преобразование, при которомстроки матрицы записывают в виде столбцовпри сохранении их порядка. Для квадратнойматрицы это преобразование эквивалентносимметричному отображению относительноглавной диагонали:

    .

    2. Матрицы одинаковойразмерности можно суммировать (вычитать).Суммой (разностью) матриц называетсяматрица той же размерности, каждыйэлемент которой равен сумме (разности)соответствующих элементов исходныхматриц:

    3. Любую матрицуможно умножать на число. Произведениемматрицы на число называется матрицатого же порядка, каждый элемент которойравен произведению соответствующегоэлемента исходной матрицы на это число:

    .

    4. Если числостолбцов одной матрицы равно числустрок другой, то можно выполнить умножениепервой матрицы на вторую. Произведениемтаких матриц называется матрица, каждыйэлемент которой равен сумме попарныхпроизведений элементов соответствующейстроки первой матрицы и элементовсоответствующего столбца второй матрицы.

    Следствие.Возведение матрицы в степень к>1есть произведение матрицы А краз. Определено только для квадратныхматриц.

    Пример.

    Свойства операцийнад матрицами.

    1. (А+В)+С=А+(В+С);

      к(А+В)=кА+кВ;

      А(В+С)=АВ+АС;

      (А+В)С=АС+ВС;

      к(АВ)=(кА)В=А(кВ);

      А(ВС)=(АВ)С;

    2. (кА) Т =кА Т;

      (А+В) Т =А Т +В Т;

      (АВ) Т =В Т А Т;

    Перечисленныевыше свойства аналогичны свойствамопераций над числами. Есть и специфическиесвойства матриц. К ним относится,например, отличительное свойствоумножения матриц. Если произведение АВсуществует, то произведение ВА

    Может не существовать

    Может отличатьсяот АВ.

    Пример.Предприятие выпускает продукцию двухвидов А и В и использует при этом сырьетрех типов S 1 ,S 2 ,и S 3 .

    Нормы расхода сырья заданы матрицейN=
    ,гдеnij– количество сырья j,расходуемого на производство единицыпродукции i.

    План выпуска продукции задан матрицейС=(100 200), а стоимость единицы каждоговида сырья – матрицей.Определить затраты сырья, необходимыедля планового выпуска продукции и общуюстоимость сырья.

    Решение. Затратысырья определим как произведение матрицС и N:

    Общую стоимостьсырья вычислим как произведение Sи Р.

    Матрицей называетсяпрямоугольная таблица чисел, состоящаяиз mодинаковойдлины строк или n одинаковойдлины столбцов.

    aij-элемент матрицы, который находитсяв i-ойстроке и j-мстолбце.

    Длякраткости матрицу можно обозначатьодной заглавной буквой, например, А или В.

    Вобщем виде матрицу размером m×n записываюттак

    Примеры:

    Еслив матрице число строк равно числустолбцов, то матрица называется квадратной,причём число ее строк или столбцовназывается порядком матрицы.В приведённых выше примерах квадратнымиявляются вторая матрица – её порядокравен 3, и четвёртая матрица – её порядок1.

    Матрица,в которой число строк не равно числустолбцов, называется прямоугольной.В примерах это первая матрица и третья.

    Главнойдиагональю квадратнойматрицы назовём диагональ, идущую излевого верхнего в правый нижний угол.

    Квадратнаяматрица, у которой все элементы, лежащиениже главной диагонали, равны нулю,называется треугольной матрицей.

    .

    Квадратнаяматрица, у которой все элементы, кроме,быть может, стоящих на главной диагонали,равны нулю, называется диагональной матрицей.Например, или .

    Диагональнаяматрица, у которой все диагональныеэлементы равны единице,называется единичной матрицейи обозначается буквой E. Например,единичная матрица 3-го порядка имеетвид .

    назадв содержание

    (36)85.Что такое линейные операции над матрицами? Примеры

    Вовсех случаях, когда вводятся новыематематические объекты, необходимодоговариваться о правилах действийнадними, а также определить – какие объектысчитаются равнымимежду собой.

    Природаобъектов не имеет никакого значения.Это могут быть вещественные иликомплексные числа, векторы, матрицы,строки или что-то иное.

    Кчислу стандартных действий относятся линейные операции, а именно: умножениена число и сложение; в данном конкретномслучае – умножкние матрицы на число исложение матриц.

    Приумножении матрицы на число каждыйматричный элемент умножается на эточисло, а сложение матриц подразумеваетпопарное сложение элементов, расположенныхв эквивалентных позициях.

    Терминологическоевыражение ” линейная комбинация

    Источник: https://mirfakt.ru/35-84-chto-takoe-pryamougolnye-i-kvadratnye-matricy-primery-opredeliteli/

    Матрицы и определители

    Что называется матрицей размера m n. (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры

      Виды матриц.

    • Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцахгде aij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент aij.Сокращённое обозначение матрицы A=(aij)m×n.
    • Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
    • диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
    • Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
    • Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
    • Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
    • Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
    • Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
    • Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
    • Матрица квадратная диагональная:
    • Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
    • Матрица верхняя треугольная:
    • Матрица нижняя треугольная:
    • Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:
      Операции над матрицами.
    • Равенство матриц.Две матрицы A (aij), B (bij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,то есть при всех i, j aij=bij.
    • Сложение матриц.Суммой двух матриц A=(aij)m×n и B=(bij) m×n одинаковых размеров называется матрица C=(cij)m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами cij=aij+bij. Пример 1.
    • Умножение матрицы на число.Произведением матрицы A=(aij)m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(bij)m×n=λA, элементы которой определяются равенствами bij=λaij. Пример 2.
    • Умножение матриц.Произведением матрицы A=(aij)m×k на матрицу B=(bij)k×n называется матрица C=(cij)m×n=A· B размера m×n, элементы которой cij определяются равенствомcij=ai1b1j+ai2b2j+ … aikbkj.Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
    • Транспонированные матрицы.Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.Полученная матрица обозначается через A' или AT. Пример 4.Квадратная матрица называется симметричной, если A=A', то есть для элементов выполнены равенства aij=aji.
    • Обратная матрица.Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.Матрица А-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:Если матрица А-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А-1, равная , где АV = Aij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).1) 2) 3) 4)
    • Алгоритм нахождения А-1 заключается в следующих пунктах:1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.2) Находим Mij — все миноры матрицы A.3) Определяем 4) Строим матрицу алгебраических дополнений и транспонируем: 5) Делим каждый элемент матрицы на det A: Пример 5.
    • Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:1) перестановка строк (столбцов);2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
    • Решение матричных уравнений.Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .Простейшие типы матричных уравнений:1) . Матрица A – квадратная и невырожденная,|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A-1.Умножим уравнение на A-1 слева: 2) . Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.Умножим уравнение на A-1 справа: .3) . Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.Умножим уравнение на A-1 слева: Умножим уравнение на B-1 справа: .
    • Ранг матрицы.Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.Mk этой матрицы: Матрицы называются эквивалентными, что обозначаетсяA ∼ B, если .Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
    • Метод окаймляющих миноров.Пусть в матрице A элемент aij ≠ 0, тогда M1 ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка: .Если M2, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M2 и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: Mr ≠ 0, но все Mr+1 = 0. Пример 6.
    • Метод элементарных преобразований.Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.2) Все элементы первого столбца, кроме a11, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a22 ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a12 и a22, обратить в ноль.Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.
      Определитель матрицы.
    • Определитель квадратной матрицы.Определитель первого порядка представляет собой число.Определитель квадратной матрицы порядка n A=(aij)m×n обозначается символами:Определитель квадратной матрицы A второго порядка — это число, равное: Определитель квадратной матрицы А третьего порядка — это число, равное:. Пример 7.
    • Правило треугольников (правило Саррюса):Знаки (+) и (–) соответствуют знакам определенных слагаемых, входящих в определитель, элементы определителя изображаются кружками, а соответствующие произведения — отрезками или треугольниками.
    • Алгебраическое дополнение A=(aij) элемента aij — это определитель n-1 порядка, полученный из |A| вычеркиванием i-й строки и j-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, взятый со знаком (-1)i+j.
      Свойства определителей.
    1. Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |AT|=|A|.
    2. При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
    3. Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
    4. Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
    5. Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
    6. Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
    7. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
    8. Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
    9. Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
    10. Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
      .
      Определители n–го порядка.
    • Минор Мij или Δij элемента аij ( иначе – дополнительный минор элемента аij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент aij.
    • Алгебраическое дополнение Аij элемента аij — это его минор со знаком (-1)i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент aij, Аij=(-1)i+jMij или Аij=(-1)i+jΔij. Пример 8.Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
    • Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
    • Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
    • Метод сведения к треугольному виду.Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

    Источник: http://matematika.electrichelp.ru/matricy-i-opredeliteli/

    Матрицы

    Что называется матрицей размера m n. (35)84.Что такое прямоугольные и квадратные матрицы? Примеры

    Определение 1

    Матрица — это прямоугольная таблица, содержащая числа и имеющая некоторое число строк ($m$) и столбцов ($n$). Строки матрицы — это элементы, стоящие на одной линии, идущей слева направо, а столбцы — элементы, стоящие на одной линии, идущей сверху вниз.

    Числа m и n определяют порядок (размерность) матрицы.

    Аналогом матрицы является обычная двумерная таблица.

    Основные действия над матрицами

    Над матрицами возможно выполнять следующие основные действия:

    • Сложение матриц;
    • Умножение матрицы на число;
    • Умножение матриц друг на друга (применимо, если матрицы согласованы друг с другом — то есть, матрица $A$ должна иметь количество столбцов, равное количеству строк в матрице $B$);
    • Транспонирование матрицы;*Умножение матрицы на вектор-столбец или строку;
    • Вычисление определителя матрицы.

    Как правило, матрица порядка $m\times n$ записывается следующим образом:

    $\left(\begin{array}{cccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {…} & {a_{1n} } \\ {a_{21} } & {a_{22} } & {…} & {a_{2n} } \\ {…} & {…} & {…} & {…} \\ {a_{m1} } & {a_{m2} } & {…} & {a_{mn} } \end{array}\right)$ или $\left(a_{ij} \right)$, где $i=1…m,j=1..n$.

    Ничего непонятно?

    Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

    Реже для записи матрицы вместо круглых скобок используют двойные вертикальные линии, например, $\left\| a_{ij} \right\| $, где $i=1…m,j=1..n$.

    Замечание 1

    Числа $a_{ij} $ из записи матрицы называются элементами матрицы, при этом $i$ — номер строки, $j$ — номер столбца.

    Для обозначения матрицы часто используют заглавные буквы латинского алфавита: $A, B, C$ и т.д.

    Пример 1

    Дана матрица $A=\left(\begin{array}{cc} {1} & {3} \\ {6} & {-2} \end{array}\right)$

    Определить какого размера матрица и выписать элементы матрицы с их номерами.

    Решение:

    Порядок матрицы $А$: $2\times 2$.

    Элементы матрицы А: $a_{11} =1,a_{12} =3,a_{21} =6,a_{22} =-2$.

    Различают несколько видов матриц:

    • Квадратная и прямоугольная;
    • Вектор-строка и вектор-столбец;
    • Скаляр;
    • Диагональная;
    • Единичная и нулевая;
    • Треугольная.

    Квадратной матрицей порядка $n$ называется матрица размерности $n\times n$, т.е. число строк и столбцов одинаково, то есть количество элементов в строках и столбцах равное.

    Прямоугольной матрицей называется матрица размерности $m\times n$, т.е. число строк и столбцов неодинаково.

    Вектор-строка — это матрица, которая состоит только из одной строки элементов, т.е. размерность матрицы $1\times n$.

    Вектор-столбец — это матрица, которая состоит только из одного столбца, т.е. размерность матрицы $m\times 1$.

    Скаляром называется матрица, содержащая только один элемент, т.е. размерность матрицы $1\times 1$.

    Пример 2

    Даны матрицы:

    $A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right),$ $C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right), F=\left(1\right).$

    Определить вид каждой матрицы.

    Решение:

    $A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {1} & {19} \\ {-3} & {2} & {1} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ – квадратная матрица;

    $B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {-4} & {3} \\ {0} & {5} & {-4} \end{array}\right)$ – прямоугольная матрица;

    $C=\left(\begin{array}{c} {1} \\ {-4} \\ {5} \end{array}\right)$ — вектор-столбец;$D=\left(\begin{array}{cccc} {-2} & {-3} & {0} & {9} \end{array}\right)$ — вектор-строка;

    $F=\left(1\right)$ — скаляр.

    Квадратная матрица имеет главную и побочную диагонали, причем:

    • Элементы главной диагонали расположены на линии, которая направлена от левого верхнего угла матрицы (элемент $a_{11} $) до правого нижнего угла матрицы (элемент $a_{nn} $);
    • Элементы побочной диагонали расположены на линии, которая направлена от правого верхнего угла матрицы (элемент $a_{1n} $) до левого нижнего угла матрицы (элемент $a_{n1} $).

    Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, находящиеся вне главной диагонали, равны нулю.

    Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все элементы, находящиеся на главной диагонали, равны единице, такую матрицу можно применять для транспонирования. Обозначение единичной матрицы: $Е$.

    Нулевая матрица — это матрица, у которой все элементы равны нулю.

    Треугольная матрица — это квадратная матрица, элементы которой, находящиеся ниже или выше главной диагонали, равны нулю.

    Замечание 2

    Различают верхнетреугольную и нижнетреугольную матрицы. В первом случае нулевые элементы находятся ниже главной диагонали, во втором случае — выше главной диагонали.

    Пример 3

    Даны матрицы:

    $A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right), E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right), D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right).$

    Определить вид каждой матрицы.

    Решение:

    $A=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {0} & {2} & {0} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ – диагональная матрица;

    $B=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {0} & {0} \\ {-2} & {2} & {0} \\ {1} & {4} & {3} \end{array}\right)$ – нижнетреугольная матрица;

    $C=\left(\begin{array}{ccc} {3} & {5} & {2} \\ {0} & {2} & {-1} \\ {0} & {0} & {3} \end{array}\right)$ – верхнетреугольная матрица;

    $E=\left(\begin{array}{ccc} {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1} \end{array}\right)$ – единичная матрица;

    $D=\left(\begin{array}{ccc} {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \\ {0} & {0} & {0} \end{array}\right)$ – нулевая матрица.

    Источник: https://spravochnick.ru/matematika/matricy/

    WikiHelpProstuda.Ru
    Добавить комментарий